2017届中考数学中档题型训练: 解直角三角形的应用

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课件简介:
  • 课件名称: 2017届中考数学中档题型训练: 解直角三角形的应用
  • 课件科目: 九年级数学课件
  • 制作软件: PPT/FLASH/其他
  • 授权方式: 免费
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  • 更新时间: 2017年01月05日
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中档题型训练(五) 解直角三角形的应用
 
解直角三角形的应用是贵阳中考的必考内容之一,它通常以实际生活为背景,考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力,解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想,即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题,然后根据已知条件与未知元素之间的关系,利用解直角三角形的知识,列出方程来求解.
  仰角、俯角问题
 
1.(2016郴州中考)小宇在学习解直角三角形的知识后,萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法.他站在 自家C处测得 对面楼房底端B的俯角为45°,测得对面楼房顶端A的仰角为30°,并量得两栋楼房间的距离为9 m.请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度.(结果保留到整数,参考数据:≈1.4,≈1.7)
 
解:∵BE∥DC,CD⊥AB,EB⊥AB,DC=BE=9.在Rt△ACD中,AD=CD•tan30°=9×3(3)=3,在Rt△BCD中,BD=CD•tan45°=9×1=9.∴AB=AD+BD=9+3≈14(m).
答:对面楼房AB的高度约为14 m.
 
 
2.(2016吉林中考)如图,某飞机于空中A处探测到目标C, 此时飞行高度AC=1 200 m,从飞机上 看地平面指挥台B的俯角α=43°.求飞机A与指挥台B的距离.(结果取整数,参考数据:sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93)
 
解:依题意,得∠ACB=90°,∠ABC=43°,AC=1 200.在Rt△ABC中.∵sin∠ABC=AB(AC),∴AB=sin∠ABC(AC)=sin43°(1 200)=0.68(1 200)≈1 765(m).
答:飞机A与指挥台B的距离约为1 765 m.
 
 
3.(2016深圳中考)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4 m/s,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)
 
解:如图,作AD⊥BC,BH⊥水平线.由题意得∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH,∴∠ABC=30°,∠ACB=45°.∵AB=4×8=32 m,∴ AD=CD=AB•sin30°=16 m,BD=AB•cos30°=16 m,∴BC=CD+BD=16+16(m),∴BH=BC•sin30°=8+8(m).
 
 
 
 
4.(2016宜宾中考)如图,CD是一高为4 m的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°,从平台底部向树的方向水平前进3 m到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角β=60°,求树高AB.(结果保留根号)
  
解:过点C作CF⊥AB于点F,设AF=x m.则有:CF=DB,CD=BF=4 m,AB=x+4,在Rt△ACF中,tan∠α=tan30°=3(3)=CF(AF)=CF(x),得CF=x,∴BE=BD-DE=CF-DE=x-3,在Rt△AEB中,tan∠β=tan60°==EB(AB)=x-3(AB)得,AB=3x-3,∴3x-3=x+4,解得x=2+2(3)∴AB=6+2(3)m,∴树高为(6+2(3))m.
 
   方位角问题
 
5.(2016宿迁中考)如图,大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁,一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向,该海轮向正东方向航行8海里到达点B处,这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向.如果海轮继续向正东方向航行,会有触 礁的危险吗?试说明理由.(参考数据:≈1.73)
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解:过点P作PC⊥AB交AB延长线于点C,由题意知∠PAC=30°,∠PBC=45°,设PC=x,在Rt△PBC中,BC=x, 在Rt△PCA中,AC= x,8+ x=x,x=10.92 m,PC>10,∴不会触礁.
 
 
 
6.(2016临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到达位于灯塔P南偏西45°方向上的B处?(参考数据:≈1.732,结果精确到0.1 )
 
解 :过点P作PC⊥AB,交AB的延长线于点C,在Rt△ACP中,∠ACP=90°,∠APC=60°,PA=20.∵cos∠APC=PA(PC),sin∠APC=PA(AC),∴PC=PA•cos60°=20×2(1)=10,AC=PA•sin60°=20×2(3)=10,在Rt△BCP中,∠BCP=90°,∠BPC=45°,∴BC=PC=10,∴AB=AC-BC=10-10=10×1.732-10=7.3.
答:轮船向东航行约7.3海里到达位于灯塔P南偏西45°方向上的B处.
 
 
  坡度、坡比问题
 
7.(2016泸州中考)如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处60 m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1∶的斜坡DB前进30 m到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度.(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈3(4),计算结果用根号表示,不取近似值)
  
解:过点B作BE⊥CD于点E,BF⊥AC于点F,则四边形CEBF是矩形.∵斜坡DB的斜面坡度i=1∶,即∠BDE=30°,在Rt△BDE中,BD=30,∴BE=BD×sin30°=15,∴CF=15,∴ED=BD×cos30°=15,∴BF=CE=CD-ED=45,在Rt△AFB中,∠ABF=53°.∵tan53°=BF(AF),∴AF=BF•tan53°=45×3(4)=60,∴AC=AF+CF=60+15(m).
答:楼房AC的高度是(60+15)m.
 
 
 
8.(2015内江中考)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30 °,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB 为3 m,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据 以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计)
解:在Rt△ABC中,tan∠ACB=BC(AB)=3(1)=3(3),∴∠ACB=30°,∴∠BAC=60°,∠PAC=30°,∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=90°,∴∠DAC=60°.在Rt△ABC中,∵∠ACB=30°,∴AC=2AB=6.在Rt△ACD中,DC=AC•tan∠DAC=6×tan60°=6.在Rt△CDE中,DE=DC•sin∠DCE=6×sin60°=9(m).
答:树DE的高为9 m.