2017届中考数学中档题型训练: 圆的有关计算、证明与探究

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课件简介:
  • 课件名称: 2017届中考数学中档题型训练: 圆的有关计算、证明与探究
  • 课件科目: 九年级数学课件
  • 制作软件: PPT/FLASH/其他
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  • 更新时间: 2017年01月02日
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中档题型训练(六) 圆的有关计算、证明与探究
 
圆的有关计算与证明是贵阳中考的必考内容之一,占有较大的比重,通常结合三角形、四边形等知识综合考查,以计算题、证明题的形式出现,解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质,特别是切线的性质和判定,同时要记住弧长公式和扇形面积公式.
  与圆有关性质的证明和计算
 
 1.(2016上海中考)已知,如图,⊙O是△ABC的外接圆,︵(AB)=︵(AC),点D在边BC上,AE∥BC,AE=BD.
(1)求证:AD=CE;
(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合),且AG= AD.求证:四边形AGCE是平行四边形.
 
证明:(1)在⊙O中.∵︵(AB)=︵(AC),∴AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵AE ∥BC,∴∠EAC=∠ACB,∴∠B=∠EAC.又∵BD=AE,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE;(2)连接AO并延长,交边BC于点H.∵︵(AB)=︵(AC),OA是半径,∴AH⊥BC,∴BH=CH.∵AD=AG,∴DH=H G,∴BH-DH=CH-GH,即BD=CG.∵BD=AE,∴CG=AE.又∵CG∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形.
 
 
2.(2016无锡中考)已知,如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且BC=6 cm,AC=8 cm,∠ABD=45°.
(1)求BD的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
 
解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵BC=6 cm,AC=8 cm,∴AB=10 cm,∴OB=5 cm.连接OD.∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABD=45°,∴∠BOD=90°,∴BD==5 cm;(2)S阴影=S扇形BOD-S△OBD=360(90)π•52-2(1)×5×5=4(25π-50)(cm2).
 
 
  圆的切线的性质与判定
 
3.(2015丽水中考)如图,在△ ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E, 过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
 
解:(1)连接OD.∵OB=OD,∴∠B=∠ODB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠ODC=∠C,∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线,∴DF⊥OD,∴DF⊥AC;(2)连接OE.∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,∴∠B=∠C=67.5°,∴∠A=45°.∵OA=OE,∴∠AOE=90°.∵⊙O的半径为4,∴S阴影=S扇形OAE-S△AOE=360(90×π×42)-2(1)×4×4=4π-8.
 
 
 
4.(2016丽水中考)如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.
(1)求证:AD是半圆O的切线;
(2)连接CD.求证:∠A=2∠CDE;
(3)若∠CDE=27°,OB=2,求︵(BD)的长.
  
解:( 1)连接OD,BD.∵AB是半圆O的切线,∴AB⊥BC,即∠ABO=90°.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵OB=OD,∴∠DBO=∠BDO,∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO,∴∠ADO=∠ABO=90°,∴AD是半圆O的切线;(2)由(1)得,∠ADO=∠ABO=90°,∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD.而∠DOC=180°-∠BOD,∴∠A=∠DOC.∵AD是半圆O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ODC+∠CDE=90°.∵BC是直径,∴∠ODC+∠BDO=90°,∴∠BDO=∠CDE.∵∠BDO=∠OBD,∴∠DOC=2∠BDO,∴∠DOC=2∠CDE,∴∠A=2∠CDE;(3)∵∠CDE=27°,∴由(2),得∠DOC=2∠C DE=54°,∴∠BOD=180°-54°=126°,∵OB=2,∴l︵(BD)=180(nπR)=180(126×π×2)=5(7)π.
 
 
 
5.(2016襄阳中考)如图,直线AB经过⊙O上的点C,直线AO与⊙O交于点E和点D,OB与⊙O交于点F,连接DF,DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求证:①直线AB是⊙O的切线 ;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的长.
 
解:(1)①连接OC.∵OA=OB,AC=BC,∴OC⊥AB,∴直线AB是⊙O的切线;②∵OA=OB,AC=BC,∴∠AOC=∠BOC.∵∠EDC=2(1)∠AOC,∠FDC=2(1)∠BOC,∴∠EDC=∠FDC;(2)连接EF交OC于点G,连接E C.∵DE是直径,∴∠DFE=∠DCE=90°.∵DE=10,DF=6,∴EF==8.∵∠EOC=∠FOC,OE=OF,∴OC⊥EF,EG=GF=2(1)EF=4.∵OE=OD,∴OG=2(1)DF=3,∴GC=OC-OG=2.在Rt△EGC中,CE==2,在Rt△ECD中,CD==4.
 
 
 
  圆与相似及三角函数的综合
 
6.(2016丹东中考)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若CE=4,DE=2,求AD的长.
 
解:(1)连接OD.∵CD是⊙O的切线,∴∠ODC=90°.即∠ODB+∠BDC=90°.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.即∠ODB+∠ADO=90°.∴∠BDC=∠ADO.∵OA=OD,∴∠ADO=∠A.∴∠BDC=∠A;(2)∵CE⊥AE,∴∠E=∠ADB=90°,∴DB∥EC,∴∠DCE=∠BDC.∵∠BDC=∠A,∴∠A=∠DC E.∵∠E=∠E,∴△AEC∽ △CED,∴EC2=DE•AE,∴16=2(2+AD),∴AD=6.
 
 
7.(2016随州中考)如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.
(1)判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=15,BE=10,tanA=12(5),求⊙O的直径.
 
解:(1)BD为⊙O的切线.证明:连接OB.∵CD⊥OA,∴∠A+∠AEC=90°.又∵∠DEB=∠AEC,∴∠A+∠DEB=90°.又∵DE=DB,∴∠DEB=∠DBE,∴∠A+∠DBE=90°.又∵OB=OA,∴∠OBA=∠A,∴∠OBA+∠DBE=90°,即∠DBO=90°,∴OB⊥BD,∴BD为⊙O的切线;(2)作DF⊥BE于点F.∵DE=DB,∴EF=2(1)BE=2(1)×10=5,易证:∠EDF=∠A.在Rt△DEF中.∵tan∠EDF =tanA=DF(EF)=DF(5)=12(5),∴DF=12,DE===13,∴CE=CD-DE=15-13=2,易证:Rt△ACE∽Rt△DFE,∴DF(AC)=EF(EC),AC=EF(DF×EC)=5(24),∴圆的直径为:2OA=4AC=4×5(24)=5(96)(或19.2).
 
 
8.(2015黔南中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以点O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC,BC边分别交于点E,F,G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=3(2).
(1)求⊙O的半径OD的长;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)求图中两部分阴影面积的和.
 
解:(1)∵AB与⊙O相切,∴OD⊥AB.在Rt△OBD中,BD=2,tan∠BOD=OD(BD)=3(2),∴OD=3;(2)连接OE.∵∠A=90°,则CA⊥AB,∴AE∥OD.又∵AE=OD=3,∴四边形AEOD是平行四边形,∴AD∥EO,∴∠OEC=∠A=90°,∴OE⊥AC.又∵OE是⊙O的半径,∴AE是⊙O的切线;(3)由(2)知,AD=OE=3,∠DOE=∠A=90°.∵OD∥AC,∴AB(BD)=AC(OD),即2+3(2)=AC(3),解得AC=7.5,∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5, ∴S阴影=S△BDO+S△ OEC-(S扇形OFD+S扇形OEG)=2(1)×2×3+2(1)×3×4.5-360(90π×32)=4(39-9π).