2017届中考数学中档题:三角形、四边形中的相关证明及计算

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课件简介:
  • 课件名称: 2017届中考数学中档题:三角形、四边形中的相关证明及计算
  • 课件科目: 九年级数学课件
  • 制作软件: PPT/FLASH/其他
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  • 更新时间: 2017年01月02日
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中档题型训练(四) 三角形、四边形中的相关证明及计算
 
纵观近5年贵阳中考题,三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查;四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定,以及运用其性质解决有关计算的问题.
  三角形的有关计算及证明
 
1.(2016泰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,E在BA的延长线上,AD平分∠CAE.
(1)求证:AD∥BC;
(2)过点C作CG⊥AD于点F,交AE于点G,若AF=4,求BC的长.
  
解:(1)∵AD平分∠CAE,∴∠DAG=2(1)∠CAG,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵∠CAG=∠B+∠ACB,∴∠B=2(1)∠CAG,∴∠B=∠DAG,∴AD∥BC;(2)∵CG⊥AD,∴∠AFC=∠AFG=90°,在△AFC和△AFG中,∠AFC=∠AFG,(AF=AF,)∴△AFC≌△AFG(ASA),∴CF=GF,AC=AG,又∵AB=AC,∴AB=A G,∴AF是△BCG的中位线,∴BC=2AF=2×4=8.
2.(2015青岛中考)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为点E.
(1)求证:△ABD≌△CAE;
(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.
  
解:(1)在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵AE∥BC,∴∠ACB=∠CAE ,∴∠B=∠CAE.又∵AD是BC边上中线,∴AD⊥BC,又∵CE⊥AE,∴∠ADB=∠E=90°,在△ABD与△C AE中,AB=AC,(∠ADB=∠E,)∴△ABD≌△CAE(AAS);(2)AB∥DE,AB=DE,理由如下:由(1)得△ABD≌△CAE,∴AE=BD.∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB∥DE且AB=DE.
3.(2016荷泽中考)如图,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
  
解:(1)∵点D,G分别是AB,AC的中点,∴DG是△ABC的中位线,∴DG=2(1)BC,DG∥BC.∵点E,F分别是OB,OC的中点,∴EF是△OBC的中位线,∴EF=2(1)BC,EF∥BC,∴DG綊EF,∴四边形DEFG是平行四边形;(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠EOF=90°,∴△EOF是直角三角形,∵点M为EF的中点,∴EF=2OM=2×3=6,∵DG=EF,∴DG=6.
 
4.(2017中考预测)如图,已知△ABC是等腰三角形,顶角∠BAC=α(α<60°),D是BC边上的一点,连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转α到AE,过点E作BC的平行线,交AB于点F,连接DE,BE,DF.
(1)求证:BE=CD;
(2)若AD⊥BC,试判断四边形BD FE的形状,并说明理由.
  
证明:(1)∵△ABC是等腰三角形,顶角∠BAC=α(α<60°),∴AB=AC,∵线段AD绕点A顺时针旋转α到AE,∴∠BAE=∠CAD,AE=AD,在△ABE和△ACD中,
AE=AD,(∠BAE=∠CAD,)∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD;(2)四边形BDFE为菱形.∵AD⊥BC,∴BD=CD,∴BE=BD=CD,在△ABE和△ABD中,AB=AB,(BE=BD,)∴△ABE≌△ABD(SSS),∴∠EBF=∠DBF,∵EF∥BC,∴∠DBF=∠EFB,∴∠EBF=∠EFB,∴EB=EF,∴BD=EF,∴BD=BE=EF=FD,∴四边形BDFE为菱形.
5.(2015龙岩中考)数学活动——求重叠部分的面积.
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,若DE经过点C,DF交AC于点G.求重叠部分(△DCG)的面积.
(1)独立思考:请解答老师提出的问题;
(2)合作交流:受问题(1)的启发,将△DEF绕点D旋转,使 DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,求重叠部分(△DGH)的面积.

 
解:(1)∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB,又∵△ ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B,∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC,∴∠AGD=∠ACB=9 0°,∴DG⊥AC.又∵DC=DA,∴G是AC中点,∴CG=2(1)AC=2(1)×8=4,DG=2(1)BC=2(1)×6=3,∴S△DCG=2(1)×CG×DG=2(1)×4×3=6;
  
(2)如图,∵△ABC≌△FDE.∴∠B=∠1,∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,∴∠B=∠2,∴∠1=∠2,∴GH=GD,∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°,∴∠A=∠3,∴AG=DG,∴AG=GH,∴点G为AH的中点,在Rt△ABC中,AB===10.∵D是AB的中点,∴AD=2(1)AB=5,在△ADH与△ACB中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°,∴△ADH∽△ACB,∴AC(AD)=CB(DH),∴8(5)=6(DH),∴DH=4(15),∴S△DGH=2(1)S△ADH=2(1)×2(1)×DH×DA=4(1)×4(15)×5=16(75).
  四边形的有关计算及证明
 
6.(2016长沙中考)如图,AC是▱ABCD的对角线,∠BAC=∠DAC.
(1)求证:AB=BC;
(2)若AB=2,AC=2,求▱ABCD的面积.
 
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC;(2)∵AB=BC,∴▱ABCD是菱形,连接BD交AC于点O,则∠AOB=90°,∴AO=2(1)AC=,BO==1,∴S▱ABCD=2(1)×2×2=2.
7.(2016安顺中考)如图,在▱ABCD中,BC=2AB=4,点E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.
  
解:(1)在▱ABCD中,AB=CD,∠B=∠D,BC=AD.∵ E,F分别是BC,AD的中点,∴BE=DF,在△ABE与△CDF中,BE=DF,(∠B=∠D,)∴△ABE≌△CDF(SAS);(2)当四边形AECF为菱形时,△ABE为等边三角形,∴四边形ABCD的高为,∴菱形AECF的面积为2.
8.(2016莆田中考)如图,AC是矩形ABCD的对角经,过AC的中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AB=,∠DCF=30°,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)
  
解:(1)∵O是AC中点,EF⊥AC,∴AF=CF,AE=CE,AO=CO,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF,在△AOF和△COE中,OA=OC,(∠AOF=∠COE,)∴△AOF≌△COE(AAS),∴AF=CE,∴AF=CF=CE=AE,∴四边形AECF是菱形;(2)∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=,在Rt△C DF中,∵CF(CD)=cos∠DCF,∠DCF=30°,∴CF=cos30°(CD)=3=2.∵四边形 AECF是菱形,∴CE=CF=2,∴四边形AECF的面积为EC×AB=2×=2.
9.(2015荆州中考)如图(1),在正方形ABCD中,P是对角 线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F,
(1)求证:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图(2),把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明 理由.
 
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP,在△ADP和△CDP中,
PD=PD,(∠ADP=∠CDP,)∴△ADP≌△CDP(SAS),∴PA= PC,∵PA=PE,∴PC=PE;(2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=90°,∴∠CDE=90°,∴∠E+∠DFE=90°,∵PA=PE,∴∠PAD=∠E,又∵△ADP≌△CDP,∴∠PAD=∠PCD,∴∠PCD=∠E,∵∠PFC=∠DFE,∴∠PCD+∠PFC=∠E+∠DFE=90°,∴∠CPE=90°;(3)CE=AP,同(1)易证△AD P≌△CDP,∴PA=PC,∠PAD=∠PCD,∵PA=PE,∴PC=PE,∠PAE=∠PEA,∴∠PEA=∠PCD,∵∠EFC=∠CPE+∠PCD=∠CDE+∠PEA,∴∠CPE=∠CDE,∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠ADC=120°,∴∠CDE=60°,∴∠CPE=60°, ∵PC=PE,∴△PCE是等边三角形,∴CE=PE,∵PE=PA,∴CE=AP.