2017届中考数学第三编综合专题复习:猜想、探究与证明

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课件简介:
  • 课件名称: 2017届中考数学第三编综合专题复习:猜想、探究与证明
  • 课件科目: 九年级数学课件
  • 制作软件: PPT/FLASH/其他
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  • 更新时间: 2017年01月02日
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专题五 猜想、探究与证明

猜想、探究与证明题型是全国各地中考的热门题型,由于探究型试题的知识覆盖面较大,综合性较强,灵活选择方法的要求较高,再加上题意新颖,构思精巧,具有相当的深度和难度,所以往往作为中考试卷中的压轴题出现,主要用于考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识.纵观贵阳5年中考,只有2013年考查了猜想、探究问题,设置在第24题,以解答题的形式出现,分值为12分.

预计2017年贵阳中考,猜想、探究与证明题型将是重点考查内容,复习时要加大训练力度.
 ,中考重难点突破)
  与三角形有关的猜想与探究
【经典导例】
【例】(2013贵阳中考)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究△ABC的 形状.(按角分类)
(1)当△ABC三边长分别为6、8、9时,△ABC为________三角形;当△ABC三边长分别为6、8、11时,△ABC为________ 三角形;
(2)猜想:当a2+b2________c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2________c2时,△ABC为 钝角三角形;
(3)判断当a=2,b=4时,△ABC的形状,并求出对应的c的取值范围.
【解析】(1)由勾股定理的逆定理可知,6,8,10是一组勾股数,最长边10所对的角是直角,而9<10,11>10,所以当△ABC的三边长分别为6,8,9时,最长边9所对的角应小于直角;当△ABC的三边长分别为6,8,11时,最长边11所对的角大于90°;(2)由勾股定理的逆定理可知,当c2=a2+b2时,△AB C是直角三角形.此时,∠C=90°,则当c2<a2+b2时,c边所对的角小于90°,当c2>a2+b2时,c边所对的角大于90°;(3)根据题意先求出c边长的取值范围,然后分三种情况讨论:①锐角三角形;②直角三角形;③钝角三角形,再具体求出c的取值范围.
【学生解答】解:(1)锐角;钝角;(2)>;<;(3)∵b-a<c<b+a,∴2<c<6,①a2+b2>c2,即c2<20,0<c<2,∴当2<c<2时,△ABC是锐角三角形;②a2+b2=c2,即c2=20,c=2,∴当c=2时,△ABC是直角三角形;③a2+ b2<c2,即c2>20,c>2,∴当2<c<6时,△ABC是钝角三角形.
 
1.(2016内江中考)问题引入:
(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=__90°+2(α)__(用α表示);如图②,∠CBO=3(1)∠ABC,∠BCO=3(1) ∠ACB,∠A=α,则∠BOC=__120°+3(α)__(用α表示);
(2)如图③,∠CBO=3(1) ∠DBC,∠BCO=3(1)∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=________(用 α表示),并说明理由.
类比研究:
(3)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO= n(1)∠DBC,∠BCO=n(1) ∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=________.
 
解:(2)120°-3(α).理由如下:∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-3(1)(∠DBC+∠ECB)=180°-3(1)(180°+α)=120°-3(α);(3)n(n-1)•180°-n(α).
 
2.(2016泰安中考)
(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上 ,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①).求证:EB=AD;
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由;
(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则AD(EB)的值是多少?(直接写出结论,  不要求写解答过程)
 
证明:(1)过D点作DF∥BC交AC于点F,则AD=DF,∴∠FDC=∠ECD.又∵∠DEC=∠ECD,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∠DBE=∠DFC=120°,∴△DBE≌△CFD,∴EB=DF,∴EB=AD ;(2)EB=AD成立.理由如下:过D点作DF∥BC交AC的延长线于点F,则AD=DF,∠FDC=∠ECD.又∵∠DEC=∠ECD,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD,∴EB=DF,∴EB=AD;(3)AE(BD)=.
3.【问题探究】
(1)如图①,在锐角△ABC中,分别以AB,AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由;
【深入探究】
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=7 cm,BC=3 cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,求BD的长;
(3)如图③,在(2)的条件下,当△ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.
 
解:(1)BD=CE. 理由如下:∵∠BAE=∠CAD, ∴∠BAE +∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD, 又∵AE=AB,AC=AD,∴△EAC≌△BAD, ∴BD=CE;
 
(2)如图①,在△ABC的外部,以点A为直角顶点作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,连接EA,EB,EC. ∵∠ACD=∠ADC=45°, ∴AC=AD,∠CAD=90°, ∴∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD, ∴△EAC≌△BAD(SAS),∴BD=CE. ∵AE=AB=7, ∴BE==7,∠AEB=∠ABE=45°, 又∵∠ABC=45°, ∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°, ∴EC===, ∴BD=CE= cm,∴BD的长是 cm;
  
(3)如图②,在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A,交BC的延长线于点E,∴∠BAE=90°, 又∵∠ABC=45°, ∴∠E=∠ABC=45°, ∴AE=AB=7,BE==7, 又∵∠ACD=∠ADC=45°, ∴∠BAE=∠DAC=90°, ∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC,即∠EAC=∠BAD, ∴△EAC≌△BAD, ∴BD=CE, ∵BC=3, ∴BD=CE=7-3(cm),∴BD长是(7-3)cm.x_k_b_1
4.(2016河南中考)
(1)发现
如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:当点A位于__CB延长线上__时,线段AC的长取得最大值,且最大值为__a+b__. (用含a,b的式子表示)
(2)应用
点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展
如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
  
 
解:① DC=BE.理由如下:  ∵△ABD和△ACE为等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE, ∠BAD=∠CAE=60°,  ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,∴△CAD≌△EAB. ∴DC=BE;② BE长的最大值是4;(3)AM的最大值为3+2,点P的坐标为(2-,).
 
5.(2016丹东中考)如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC,CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE,BD.
(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系,请直接写出结论;
(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),得到图②,AE与  MP,BD分别交于点G,H.请判断(1)中的结论是否成立?若成立,请证明; 若不成立,请说明理由;
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如图③,写出PM与PN的数量关系,并加以证明.
  
解:(1)PM=PN,PM⊥PN;(2)(1)中的结论成立.理由如下:设BC与AE交于点O.∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.又∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD,∴∠BHO=∠ACO=90°.∵点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,∴PM=2(1)BD,PM∥BD;PN=2(1)AE,PN∥AE,∴PM=PN,∴∠MGE+∠BHA=180°,∴∠MGE=90°,∴∠MPN=90°,∴PM⊥PN;(3)PM=kPN.理由如下:∵△ACB和△ECD是直角三角形,∴∠ACB=∠ ECD=90°,∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,∴∠ACE=∠BCD.∵BC=kAC,CD=kCE,∴AC(BC)=CE(CD)=k,∴△BCD∽△ACE,∴BD=kAE.∵点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,∴PM=2(1)BD,PN=2(1)AE,∴PM=kPN.
 
  与四边形有关的猜想与探究
 
6.(2015威海中考)猜想与证明:
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM,ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.
 拓展与延伸:
(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为________;
(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.
 
解:  猜想与证明 DM=ME.证明:如图1,延长EM交AD于点H,    ∵四边形ABCD和CEFG是矩形,∴AD∥EF,∴∠EFM=∠HAM, 又∵∠FME=∠AMH,FM=AM,在△FME和△AMH中, ∠FME=∠AMH,(FM=AM,)∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM=EM,  在Rt△HDE中,HM=EM,∴DM=HM=ME,∴DM=ME.拓展与延伸
(1)DM=ME且DM⊥ME;(2)如图2,连接AE,    ∵四边形ABCD和ECGF是正方形,∴∠FCE=45°,∠FCA=45°, ∴AE和EC在同一条直线上,在Rt△ADF中,AM=MF,∴DM=AM=MF, 在Rt△AEF 中,AM=MF,∴AM=MF=ME, ∴DM=ME.
 
 
7.(2016龙东中考)已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A,C 重合),分别过点A,C向直线BP作垂线,垂足分别为点E,F,点O为AC的中点.
(1)当点P与点O重合时如图1,易证OE=OF;(不需证明)
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时,如图2、图3的位置,猜想线段CF,AE,OE之间有怎样的数量关系?请写出对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明.
 
解:(2)图2中的结论为:CF=OE+AE.图3中的结论为:CF=OE-AE.选图2中的结论证明如下:延长EO交CF于点G,∵AE⊥BP,CF⊥BP,∴AE∥CF,∴∠EAO=∠GCO,∠EOA=∠GOC,OA=OC,∴△EOA≌△GOC,∴EO=GO,AE=CG,在Rt△EFG中.∵EO=OG,∴OE=OF=GO,∵∠OFE=30°,∴∠OFG=90°-30°=60°,∴△OFG是等边三角形,∴OF=GF,∵OE=OF,∴OE=FG,∵CF=FG+CG,∴CF=OE+AE.选图3的结论证明如下:延长EO交FC的延长线于点G,∵AE⊥BP,CF⊥BP,∴AE∥CF,∴∠AEO=∠G,∵∠AOE=∠COG,OA=OC,∴△AOE≌△COG,∴OE=OG,AE=CG,在Rt△EFG中,∵OE=OG,∴OE=OF=OG,∵∠OFE=30°,∴∠OFG=90°-30°=60°,∴△OFG是等边三角形,∴OF=FG,∵OE=OF,∴OE=FG,∵CF=FG-CG,∴CF=OE-AE.
 
 
8.(2016襄阳中考)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.
 
解:(1)由折叠的性质可得,∠AFD=∠AFE,FD=FE.∵EG∥CD,∴∠EGF=∠AF D,∴∠EGF=∠AFE,∴EG=EF=FD,∴EG綊FD,∴四边形EFDG是平行四边形.又∵FD=FE,∴▱EFDG是菱形;(2)EG2=2(1)AF•GF.理由如下:连接ED交AF于点H,∵四边形EFDG是菱形,∴DE⊥AF,FH=GH=2(1)GF,EH= DH=2(1)DE.∵∠FEH=∠FAE=90°-∠EFA,∴Rt△FEH∽Rt△FAE,∴FH(EF)=EF(AF).即EF2=FH•AF,∴EG2=2(1)AF•GF;(3)∵AG=6,EG=2,EG2=2(1)AF•GF,∴(2)2=2(1)(6+GF)•GF.∵GF>0,∴GF=4,∴AF=10.∵DF=EG=2,∴AD=BC==4,DE=2EH=GF)2(1)=8.∵∠CDE+∠DFA=90°,∠DAF+∠DFA=90°,∴∠CDE=∠DAF,∴Rt△ADF∽Rt△DCE,∴DF(EC)=AF(DE),即5(EC)=10(8),∴EC=5(5),∴BE=BC-EC=5(5).