2017届中考数学第三编综合专题复习:线段和的最小值问题

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课件简介:
  • 课件名称: 2017届中考数学第三编综合专题复习:线段和的最小值问题
  • 课件科目: 九年级数学课件
  • 制作软件: PPT/FLASH/其他
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  • 更新时间: 2017年01月02日
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专题四 线段和的最小值问题

纵观贵阳5年中考,2014 年和2015年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题.设置在第24题、25题,以解答题的形式出现,分 值为12分,难度较大.
 
预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题,复习时要加大训练力度.
 ,中考重难点突破)
  线段的最小值
【经典导例】
【例】(六盘水中考)(1)观察发现
如图①,若点A,B在 直线m同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小,做法如下:作点B关于直线m的对称点B′,连接AB′,与直线m的交点就是所求作的点P,线段AB′的长度即为AP+BP的最小值.
 
如图②,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小,做法如下:
作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点 ,则这点就是所求作的点P,故BP+PE的最小值为________.
(2)实践运用
如图③,已知⊙O的直径CD为2,︵(AC)的度数为60°,点B是︵(AC)的中点,在直径 CD上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为________.
  
(3)拓展延伸
如图④,点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB,BC上作出点M,点N,使PM+PN的值最小,保留作图痕迹,不写作法.
【解析】(1)利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值;由AB=2,点E是AB的中点,根据等边三角形的性质得到CE⊥AB,∠BCE=2(1)∠BCA=30°,BE=1,再根据含30°的直角三角形三边的关系得到CE的长度.C E的长为BP+PE的最小值.∵在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,∴CE⊥AB,∠BCE=2(1)∠BCA=30°,BE=1,∴CE=BE=.故答案为;(2)过B点作弦BE⊥CD ,连接AE交CD于P点,连接OB,O E,OA,PB ,根据垂径定得到CD平分BE,即点E与点B关于CD对称,则AE的长就是BP+AP的最小值.
 
【学生解答】解:(1); (2)实践运用 如解图①,过B作弦BE⊥CD,连接AE交CD于P点,连接OB,OE,OA,PB.∵BE⊥CD,∴CD平分BE,即点E与点B关于CD对称.∵︵(AC)的度数为60°,点B是︵(AC)的中点,∴∠BOC=30°,∠AOC=60°,∴∠EOC=30°,∴∠AOE=60°+30°=90°,∵OA=OE=1,∴AE=O A=,∵AE的长就是BP+AP的最小值.故答案为;
 
(3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F,然后连接EF,EF交AB于点M,交BC于点N.拓展延伸如解图②.
 
1.(2015绥化中考)如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M,N分别是线段AC,AB上的两个动点,则BM+MN的最小值是( B )
A.10   B.8   C.5   D.6
 ,(第1题图))    ,(第2题图))
2.(2016贵阳模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为( B )
A. 3  B.5
C.6  D.无法确定
 
3.(2016原创)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,点M,N分别是A B,BC边上的中点,PM+PN的最小值是( B )
A.2  B.1  C.  D.2(1)
4.(2016原创)几何模型:
  条件:如下左图,A,B是直线l同旁的两个定点.
  问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
  方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图①,正方形ABCD的边长为2,E为AB中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接PE,PB,则PB+PE的最小值是________;
(2)如图②,⊙O的半径为2,点A,B,C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动 点,求PA+PC的最小值;
(3)如图③,∠AOB=30°,P是∠AOB内一点,PO=8,Q,R分别是OA,OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
 
解:(1);(2)如图②,延长AO交⊙O于点A′,则点A,A′关于直线OB对称,连接A′C与OB相交于点P,连接AC.∵OA=OC=2,∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∴AC=2.∵AA′=4,∠ACA′=90°,∴PA+PC=PA′+PC=A′C=2,即PA+PC的最小值是2;
 
(3)如图③,分别作P点关于OB,OA的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于点Q,交OB于点R,∴OP=OP1=OP2,∠P1OB=∠POB,∠ P2OA=∠POA,∴∠P1OP2=2∠AOB=60°,∴△P1OP2是等边三角形,P1P2=OP=8,∴三角形PQR的周长=PR+PQ+RQ=P1R+P2Q+RQ=P1P2=8,即△PQR的周长的最小值为8.
5.(2014贵阳中考)如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F点.若AB=6 cm.
(1)AE的长为__4__cm;
(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;
(3)求点D′到BC的距离.
 
解:(1)4;(2)∵Rt△ADC中,∠ACD=30°, ∴∠ADC=60°. ∵E为CD边上的中点, ∴DE=AE, ∴△ADE为等边三角形.∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E, ∴△AD′E为等边三角形, ∠AED′=60°, ∵∠EAC=∠EAD-∠DAC=30°, ∴∠EFA=90°,  即AC所在的直线垂直平分线段ED′, ∴点E,D′关于直线AC对称, 连接DD′交AC于点P, ∴此时DP+EP值为最小,且DP+EP=DD′, ∵△ADE是等边三角形,AD=AE=4, ∴DD′=2×2(1)AD×=2×6=12, 即DP+EP最小值为12 cm;(3)连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G, ∵AC垂直平分线ED′, ∴AE=AD′,CE=CD′, ∵AE=EC,∴AD′=CD′=4, 在△ABD′和△CBD′中,AD′=CD′,(BD′=BD′,)∴△ABD′≌△CBD′(SSS), ∴∠D′BG=45°, ∴D′G=GB, 设D′G长为x cm,则CG长为(6-x)cm,在Rt△GD′C中,x2 +(6-x)2 =(4)2 ,  解得x1=3-,x2=3+(不合题意舍去), ∴点D′到BC边的距离为(3-)cm.
 
6.(2016贵阳中考)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C落在AD边上 的点M处,折痕为PE,此时PD=3
(1)求MP的值;
(2)在AB边上有一个动点F,且不与点A,B重合,当AF等于多少时,△MEF的周长最小?
(3)若点G,Q是AB边上的两个动点,且不与点A,B重合,GQ=2,当四边形MEQG的周长最小时,求最小周长值.(计算结果保留根号)
解:(1)MP==5;(2)如图1,作点M关于AB的对称点M′,连接M′E交AB于点F,则点F即为所求,
  
过点E作EN⊥AD,垂足为N.∵AM=AD-MP-PD=15-5-3=4,∴AM=AM′=4.∵矩形ABCD折叠,使点C落在AD边上的点M处,折痕为PE,∴∠CEP=∠MEP,而∠CEP=∠MPE,∴∠MEP=∠MPE,∴ME=MP=5,在Rt△ENM中,MN===3,∴NM′=11.∵AF∥NE,∴△AFM′∽△NEM′,∴M′N(M′A)=EN(AF),即11(4)=4(AF),解得AF=11(16),即AF=11(16)时,△MEF的周长最小;(3)如图2,由(2)知点M′是点M关于AB的对称点,连接MG,在EN上截取ER=2,连接M′R交AB于点G,再过点E作EQ∥RG,交AB于点Q,
 
∵EQ∥RG,ER∥GQ,∴四边形ERGQ是平行四边形,∴QE=GR.∵GM=GM′,∴MG+QE=GM′+GR=M′R,此时MG+EQ最小,四边形MEQG的周长最小,在Rt△M′RN中,NR=4-2=2,M′R==5,∵ME=5,GQ=2,∴四边形MEQG的最小周长值是7+5.