2017届中考数学第三编综合专题复习:阅读理解型问题

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课件简介:
  • 课件名称: 2017届中考数学第三编综合专题复习:阅读理解型问题
  • 课件科目: 九年级数学课件
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  • 更新时间: 2017年01月02日
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专题三 阅读理解型问题
阅读理解题通常是给出一段文字,或陈述某个数学命题的解题过程,或设计一个新的数学情境,要求学生在阅读 理解的基础上,进行判断概括或迁移运用,从而解决题目中提出的问题.这类问题的考查目标既有基础知识,又涉及阅读理解能力、自习能力、书面表达能力、随机应变能力和知识迁移运用能力等.2016年贵阳中考首次考查了阅读理解几何综合应用问题.预计2017贵阳中考还会考查此类型题目,复习时应加大训练力度.
 ,中考重难点突破)
  阅读解题过程,模仿解题策略
【经典导例】
【例1】(2016贵阳中考)
(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判 断.
中线AD的取值范围是________;
(2)问题解决:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
 
【解析】本题属于阅读理解题,解题方法主要是数学中“转化”思想的运用.对于(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接EM,BM,利用全等三角形性质和线段垂直平分线性质把线段BE,CF,EF转化到△BEM中来研究;对于(3)要延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,先证明△NBC≌△FDC,得CN=CF,∠NCB=∠FCD.再根据已知条件证明△NCE≌△FCE,得EN=EF,则有BE+BN=EN,所以有 BE+DF=EF.
【学生解答】解:(1)2<AD<8;(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接EM,BM,在△BMD和△CFD中.∵点D是BC的中点,∴BD=CD.∵∠BDM=∠CDF,DM=DF,∴△BMD≌△CFD,∴BM=CF.又∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF,在△BME中,BE+BM>EM,∴BE+CF>EF;(3)BE +DF=EF.理由:延长AB至点N,使BN=DF,连接CN.在△NBC和△FDC中,CB=CD,BN=DF.∵∠NBC+∠ABC=180°,∠D+∠ABC=180°,∴∠NBC=∠D,∴△NBC≌△FDC,∴CN=CF,∠NCB=∠FCD.∵∠BCD=140°,∠ECF=70°,∴∠BCE+∠FCD=70°,∴∠NCE=70°,在△NCE和△FCE中,CN=CF,∠ECF=∠NCE=70°,CE=CE,∴△NCE≌△FCE,∴EN=EF.∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF.
 
1.(张家界中考)阅读材料:解分式不等式x-1(3x+6)<0,解:根据实数的除法法则:同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,因此,原不等式可转化为:①x-1>0(3x+6<0,)或②x-1<0,(3x+6>0,)解①得:无解,解②得:-2<x<1,所以原不等式的解集是-2<x<1.
请仿照上述方法解下列分式不等式:
(1)2x+5(x-4)≤0;
(2)2x-6(x+2)>0.
解:(1)根据实数的除法法则:同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,因此原不等式可转化为:①2x+5<0,(x-4≥0,)或②2x+5>0,(x-4≤0,)解①得:无解,解②得:-2.5<x≤4,所以原不等式的解集是:-2.5<x≤4;(2)根据实数的除法法则:同号两数相除得正数,异号两数相除得负数.因此,原不等式可转化为:①2x-6>0(x+2>0,)或②2x-6<0,(x+2<0,)解①得:x>3,解②得:x<-2,所以原不等式的解集是:x>3或x<-2.
2.(2016兰州中考)在数学课上,老师请同学们思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC.
 
结合小敏的思路作答:
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;
参考小敏思考问题的方法解决以下问题:
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
 
解:(1)四边形EFGH还是平行四边形,理由如下:连接AC.∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC,EF=2(1)AC.∵G,H分别是CD,AD的中点,∴GH∥AC,GH=2(1)AC,∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形;(2)①当AC=BD时,四边形EFGH是菱形,理由如下:由(1)可知四边形EFGH是平行四边形,当AC=BD时,FG=2(1)BD,EF=2(1)AC,∴FG=EF,∴四边形EFGH是菱形;②当AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形.
 
3.(2016郴州中考)设a,b是任意两个实数,规定a与b之间的一种运算“⊕”为:a⊕b=a-b(a≤0).((a>0),)
例如:1⊕(-3)=1(-3)=-3,(-3)⊕2=(-3)-2=-5,
(x2+1)⊕(x-1)=x2+1(x-1).(因为x2+1>0)
参照上面材料,解答下列问题:
(1)2⊕4=__2__,(-2)⊕4=__-6__;
(2)若x>2(1),且满足(2x-1)⊕(4x2-1)=(-4)⊕(1-4x),求x的值.
解:∵x>2(1),∴2x-1>0,∴(2x-1)⊕(4x2-1)=2x-1(4x2-1)=2x+1.又-4<0,∴(-4)⊕(1-4x )=-4-(1-4x)=-5+4x,∴(2x-1)⊕(4x2-1)=(-4)⊕(1-4x)化为:2x+1=-5+4x,解得x=3,∴x的值为3.
 
  阅读新定义,新定理,解决新问题
【经典导例】
【例2】(2014兰州中考)给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
 
①求证:△BCE是等边三角形;
②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
【解析】(1)根据定义和特 殊四边形的性质,则有矩形或正方形或直角梯形;
(2)①首先证明△ABC≌△DBE,得出AC=DE,BC=BE,进一步得出△BCE为等 边三角形;②利用等边三角形的性质,进一步得出△DCE是直角三角形,问题得解.
【学生解答】解:(1)学习过的特殊四边形中,符合条件的四边形有:矩形、正方形或直角梯形;(2)①由旋转的性质可知△ABC≌△DBE,∴AC=DE,BC=BE,∵∠CBE=60°,∴△BCE是等边三角形;②∵△BCE是等边三角形,∴∠BCE=60°,CE=BC.∵∠DCB=30°,∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°.∴△DCE是直角三角形,∴DC2+CE2=DE2,又∵AC=DE,CE=BC,∴DC2+BC2=AC2.即四边形ABCD是勾股四边形.
 
4.(2016衢州中考)如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;
(2)性质探究:试探索垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系.猜想结论(要求用文字语言叙述),写出证明过程;(先画出图形,写出已知、求证)
(3)问题解决:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC 和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长.
 
解:(1)四边形ABCD是垂美四边形.证明:∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上,∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形; (2)猜想结论:垂美四边形的两组对边的平 方和相等.如图2,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为E,求证: AD2+BC2=AB2+CD2,证明:∵AC⊥BD,∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,∴AD2+BC2=AB2+CD2;(3)连接CG,BE,∵∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中,AB=AE,(∠GAB=∠CAE,)∴△GAB≌△CAE,∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠BMC=90°,即CE⊥BG,∴四边形CGEB是垂美四边形,由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,∵AC=4,AB=5,∴BC=3,CG=4,BE=5,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE=.
 
5.(2016宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;
(3)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
 
解:(1)∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=2(1)∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形,∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线;(2)①当AD=CD时(如图①),∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°;②当AD=AC时(如图②),∠ACD=∠ADC=2(180°-48°)=66°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°;③当AC=CD时(如图③),∠ADC=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去,∴∠ACB=96°或114°;
 
(3)由已知得AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴BA(BC)=BC(BD),设BD=x,∴()2=x(x+2),解得x=-1±,∵x>0,∴x=-1,∵△BCD∽△BAC,∴AC(CD)=BC(BD)=2(3-1),∴CD=2(3-1)×2=(-1)=-.
 
 
6.(2016咸宁中考)阅读理解:
我们知道,四边形具有不稳定性,容易变形. 如图1,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形. 设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α,我们把sinα(1)的值叫做这个平行四边形的变形度.
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是________;
猜想证明:
(2)设矩形的面积为S1,其变形后的平行四边形面积为S2,试猜想S1, S2,sinα(1)之间的数量关系,并说明理由;
拓展探究:
(3)如图2,在矩形ABCD中,E是AD边上的一点,且AB2=AE•A  D,这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1,E1为E的对应点,连接B1E1,B1D1,若矩形ABCD的面积为4(m>0),平行四边形A1B1C1D1的面积为2(m>0),试求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度数.
  
解:(1)3(3);(2)sinα(1)=S2(S1),理由如下:如图1,设矩形的长和宽分别为a,b,其变形后的 平行四边形高为h,则S1=ab,S2=ah,sinα=b(h),∴S2(S1)=ah(ab)=h(b),sinα(1)=h(b),∴sinα(1)=S2(S1);(3)由AB2=AE•AD,可得A1B1(2)=A1E1•A1D1,即A1D1(A1B1)=A1B1(A1E1).又∠B1A1E1=∠D1A1B1,∴△B1A1E1∽△D1A1B1,∴∠A1B1E1=∠A1D1B1.∵A1D1∥B1C1,∴∠A1E1B1=∠C1B1E1,∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1B1E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1,由(2)sinα(1)=S2(S1),可知sin∠A1B1C1(1)=m(m)=2,∴sin∠A1B1C1=2(1),∠A1B1C1=30°,∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=30°.