2017届中考数学第三编综合专题复习:二次函数中存在性问题

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课件简介:
  • 课件名称: 2017届中考数学第三编综合专题复习:二次函数中存在性问题
  • 课件科目: 九年级数学课件
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专题六 二次函数中存在性问题

二次函数中存在性问题是贵阳中考必考内容,近5年共考了4次,主要与几何图形结合起来考查,且都以解答题形式出现,分值12分.
 
预计2017年贵阳中考对二次函数存在性问题仍会考查,且涉及到的内容有:等腰三角形,直角三角形,相似三角形、面积最值、特殊四边形等存在性问题.
 ,中考重难点突破)
  相似三角形存在性问题
【经典导例】
【例1】(2016贵阳模拟)如图,已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D的坐标;
(3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,是否存在点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由于抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点O,用待定系数法即可求出抛物线的表达式;  (2)根据平行四边形的性质,对边平行且相等,可以求出点D的坐标;(3)分两种情况讨论,①△AMP∽△BOC,②△PMA∽△BOC,根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标.
 
【学生解答】解:(1)y=x2 +2x;(2)当AO为平行四边形的边时,DE∥AO,DE=AO,由A(-2,0)知:DE=AO=2, 若D在对称轴直线x=-1左侧,  则D横坐标为-3,代入抛物线表达式得D1(-3,3), 若D在对称轴直线x=-1右侧,  则D横坐标为1,代入抛物线表达式得D2(1,3). 综上可得点D的坐标为(-3,3)或(1,3);(3)存在.理由如下:∵B(-3,3),C(-1,-1),  根据勾股定理得:BO2=18,CO2=2,BC2 =20,  ∵BO2+CO2=BC2 ,  ∴△BOC是直角三角形,  假设存在点P,使以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似,  设P(x,y),由题意知x>0,y>0,且y=x2 +2x, ①若△AMP∽△BOC,则BO(AM)=CO(PM),  即18(x+2)=2(x2 +2x),  故x+2=3(x2+2x),得:x1=3(1),x2=-2(舍去). 当x=3(1)时,y=9(7),即P(3(1),9(7));②若△PMA∽△BOC,则CO(AM)=BO(PM),  即2(x+2)=18(x2+2x),故x2 +2x=3(x+2),  得:x1=3,x2=-2(舍去),当x=3时,y=15,即P(3,15).  故符合条件的点P有两个,分别是(3(1),9(7))或(3,15).
 
 
1 .(2017预测)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为(1,8(27)),与y轴的交点C的坐标为(0,3),与x轴交于点A,B(A在B的左侧).
(1)求抛物线的表达式;
(2)若过点A的直线l平分△ABC的面积,求直线l的表达式;
(3)点P从点A出发,沿点A向点B运动,运动速度为每秒2个单位,同时点Q从B出发沿BC向点C运动,运动速度为每秒1个单位,连接PQ,运动时间为t.当其中一个点到达终点时,另一个点立即停止运动.求当△PBQ与△ABC相似时t的值.
 
解:(1)-8(3)x2+4(3)x+3;(2)令y=-8(3)x2+4(3)x+3=0,解得x1=-2,x2=4,∴点A(-2,0),点B(4,0).设BC的中点为E,则点E的坐标为(2,2(3)).∵直线l过点A,且平分△ABC的面积,∴直线l过点A和点E,设直线l的表达式为y=kx+b,将点A(-2,0),点E(2,2(3))代入得,(3)解得,(3)∴直线l的表达式为y=8(3)x+4(3);(3)∵A(-2,0),B(4,0),C(0,3),∴AB=6,BC=5.∵点P的运动速度为每秒2个单位,点Q的运动速度为每秒1个单位,∴BP=6-2t,BQ=t.∵∠PBQ=∠ABC,∴若BA(BP)=BC(BQ)时,△PBQ∽△ABC或BC(BP)=BA(BQ)时,△QBP∽△ABC,①当BA(BP)=BC(BQ)时,则6(6-2t)=5(t),解得t=8(15);②当BC(BP)=BA(BQ)时,则5(6-2t)=6(t),解得t=17(36).综上所述,△PBQ与△ABC相似时,t的值为8(15)或17(36).
 
 
2.(2015西宁中考)如图,抛物线y=-4(1)x2+2(3)x-2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,分别过点B,C作y轴,x轴的平行线,两平行线交于点D,将△BDC绕点C逆时针旋转,使点D旋转到y轴上得到△FEC,连接BF.
(1)求点B,C所在直线的函数表达式;
(2)求△BCF的面积;
(3)在线段BC上是否存在点P,使得以P,A,B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
  
解:(1)直线BC的表达式为y=2(1)x-2;(2)△BCF的面积为10;(3)存在.分两种情况讨论:①如图,过A作AP1∥y轴交线段BC于点P1,则△BAP1∽△BOC.∵点A的坐标为(2,0),∴点P1的横坐标是2;∵点P1在点BC所在的直线上,∴y=2(1)x-2=2(1)×2-2=-1,∴点P1的坐标为(2,-1);②如图,过点A作AP2⊥BC于点P2,过点P2作P2Q⊥x轴于点Q.∴△BAP2∽△BCO,∴CO(AP2)=CB(AB)=OB(BP2),∴2(AP2)=5(2)=4(BP2),解得AP2=5(5),BP2=5(4);∴S△AP2B=2(1)AB•QP2=2(1)AP2•BP2,∴2QP2=5(5)×5(5),解得QP2=5(4),∴点P2的纵坐标是-5(4);∵点P2在BC所在直线上,∴x=5(12),∴点P2的坐标为(5(12),-5(4)),∴满足条件的P点坐标为(2,-1)或(5(12),-5(4)).
 
 
  等腰三角形存在性问题
【经典导例】
【例2】如图,已知直线y=3x-3分别交x轴,y轴于A,B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).
(1)求抛物线的表达式;
 
(2)求△ABC的面积;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.
【解析】(1)根据直线表达式求出点A及点B的坐标,然后将点A及点B的坐标代入抛物线表达式,可得出b,c的值,求出抛物线表达式;(2)由(1)求得的抛物线表达式,可求出点C的坐标,继而求出AC的长度 ,代入三角形的面积公式即可计算;(3)根据点M在抛物线对称轴上,可设点M的坐标为(-1,m),分三种情况讨论,①MA=BA;②MB=BA;③MB=MA,求出m的值后即可得出答案.
【学生解答】
解:(1)抛物线表达式为y=x2+2x-3;(2)S△ABC=2(1)AC•OB=2(1)×4×3=6;(3)存在,理由如下:抛物线的对称轴为直线x=-1,假设存在M(-1,m)满足题意,讨论:①当MA=AB时,∵OA=1,OB=3,∴AB=,∴=,解得m=±,∴M1(-1,),M2(-1,-);②当MB=BA时,=,解得m1=0,m2=-6,∴M3(-1,0),M4(-1,-6)(不符合题意舍去);③当MA=MB时,=,解得m=-1,∴M5(-1,-1),故共存在4个点M1(-1,),M2(-1,-),M3(-1,0),M5(-1,-1)使△ABM为等腰三角形.
 
3.(2015贵阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,-6)和点C(6,0).
(1)求抛物线的表 达式;
(2)若抛物线与x轴的负半轴交于B,试判断△ABC的形状.(钝角三角形、直角三角形或锐角三角形)
 
解:(1)抛物线的表达式为y=x2-5x-6;(2)△ABC为锐角三角形.
 
 
  直角三角形存在性问题
【经典导例】
【例3】(2016贵阳中考说明)
 
如图,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,连接CD,BD,把△BCD沿BC折叠,
①求点D的对应点D′的坐标;
②在抛物线上是否存在点P,使得△DD′P是以DD′为一直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)把A(-1,0),C(0,4)两点的坐标代入y=ax2+bx-4a,根据待定系数法可得这个抛物线的表达式;(2)①将点D(m,m+1)代入y=-x2+3x+4中,得到D点坐标,根据等腰直角三角形的判定可得 △OBC是等腰直角三角形,根据折叠的性质进一步得到点D的对应点D′的坐标;②存在满足条件的点P.过点D′作D′E∥BC交x轴于点E,交抛物线于点P1,根据待定系数法可得直线D′E的表达式,联立方程组可得点P1的坐标;过点D作DF∥BC交y轴于点F,交抛物线于点P2,根据待定系数法可得直线DF的表达式,联立方程组可得点P2的坐标.
【学生解答】
解:(1)y=-x2+3x+4;(2)①如图①,将点D(m,m+1)代入y=-x2+3x+4中,得:-m2+3m+4=m+1,化简得:m2-2m-3=0,解得m1=-1(舍去),m2=3;∴D(3,4),∴CD∥x轴,∴∠DCO=90°,由B(4,0),C(0,4)可得:OB=OC=4,即△OBC是等腰直角三角形,得:∠OCB=∠DCB=45°;把△BCD沿BC折叠,点D的对称点D′落在y轴上,且CD=CD′=3,OD′=OC-CD′=1,则点D′的坐标为(0,1);②存在满足条件的点P.如图②,过D′作D′E∥BC交x轴于点E,交抛物线于点P1.∵DD′⊥BC,∴∠DD′P1=90°,△OD′E为等腰直角三角形,则E(1,0),设直线D′E的表达式为y=k1x+b1,依题意得b1=1,(k1+b1=0,)解得b1=1,(k1=-1,)∴直线D′E的表达式为y=-x+1.由y=-x2+3x+4,(y=-x+1,)得,(7,),(7,)过D作DF∥BC交y轴于点F,交抛物线于点P2.∵DD′⊥BC,∴DD′⊥DF,∠D′DP2=90°,△CDF为等腰直角三角形,则F(0,7),设直线DF的表达式为y=k2x+b2,依题意得b2=7,(3k2+b2=4,)解得b2=7,(k2=-1,)∴直线DF的表达式为y=-x+7.由y=-x2+3x+4,(y=-x+7,)得y3=6,(x3=1,)y4=4(x4=3,)(不符合题意舍去).故在抛物线上存在点P,使得△DD′P是以DD′为一直角边的直角三角形,点P的坐标为(2-,-1+)或(2+,-1-)或(1,6).
  
 
4.(2016原创)如图,抛物线y=-2(1)x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其对称轴与x轴的交点为D,已知A(-1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断△ACD的形状,并说明理由;
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形,若存在,求点 P的坐标;若不存在,说明理由.
 
解:(1)抛物线的表达式为y=-2(1)x2+2(3)x+2;(2)△ACD是等腰三角形,理由如下:∵抛物线y=-2(1)x2+2(3)x+2的对称轴为直线x=2(3),∴点D(2(3),0).∵A(-1,0) ,C(0,2),∴AC=,AD=1+2(3)=2(5),CD=)2(3)=2(5),∴AD=CD≠AC,∴△ACD是等腰三角形;(3)存在.令抛物线y=-2(1)x2+2(3)x+2=0,得x1=-1,x2=4,∴点B的坐标为(4,0),则BC==2,如图,取BC的中点为S,则点S的坐标为(2,1).设对称轴上存在点P(2(3),t),使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形,则PS=2(1)BC=,即(2-2(3))2+(t-1)2=5,解得t1=1+2(19),t2=1-2(19),∴存在这样的点P满足条件 ,其坐标为(2(3),1+2(19))或(2(3),1-2(19)).
 
  面积最值存在性问题
【经典导例】
【例4】(2015安顺中考)如图,抛物线y=ax2+bx+2(5)与直线AB交于点A(-1,0),B(4,2(5)).点D是抛物线A,B两点 间部分上的一个动点(不与点A,B重合),直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD.
 
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标.
【解析】(1)将抛物线上两点A,B的坐标分别代入抛物线表达式列方程组求解即可;(2)先根据直线过A,B两点列方程组并求出直线表达式,再用m表示出C,D两点的纵坐标得线段CD的长,由图可知,S=S△ACD+S△BCD,根据三角 形面积公式可得S关于m的二次函数,利用配方法求出S最大时m的值即可计算此时C点的坐标.
【学生解答】
解:(1)抛物线的表达式为y=-2(1)x2+2x+2(5);(2)设直线AB为y=kx+d,则有,(5)解得,(1)∴y=2(1)x+2(1).则D(m,-2(1)m2+2m+2(5)),C(m,2(1)m+2(1)),CD=(-2(1)m2+2m+2(5))-(2(1)m+2(1))=-2(1)m2+2(3)m+2.∴S=2(1)(m+1)•CD+2(1)(4-m)•CD=2(1)×5×CD=2(1)×5×(-2(1)m2+2(3)m+2)=-4(5)m2+4(15)m+5.∵-4(5)<0,∴抛物线开口向下.故当m=2(3)时,S有最大值.当m=2(3)时,2(1)m+2(1)=2(1)×2(3)+2(1)=4(5),∴点C(2(3),4(5)).当S取最大值时的点C的坐标为(2(3),4(5)).
 
 
5.(2016白银中考)如图,已知抛物线y=-x2 +bx+c经过A(3,0),B(0,3)两点.
(1)求此抛物线的表达式和直线AB的表达式;
(2)如图①,动点E从O点出发,沿着OA方向以1个单位/s的速度向终点A匀速运动,同时,动点F从A点出发,沿着AB方向以个单位/s的速度向终点B匀速运动,当E,F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动,连接EF,设运动时间为t s,当t为何值时,△AEF为直角三角形?
(3)如图②,取一根橡皮筋两端点分别固定在A,B处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P与A,B两点构成无数个三角形,在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时点P的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
  
解:(1)直线AB的表达式为y=-x+3,抛物线的表达式为y=-x2+2x+3;(2)∵OA=OB=3,∠BOA=90°,∴∠EAF=45°,设运动时间t s,则AF=t,AE=3-t;(Ⅰ)当∠EFA=90°时,在Rt△EAF中,cos45°=AE(AF)=2(2),即3-t(2t)=2(2).解得t=1.(Ⅱ)当∠FEA=90°时,在Rt△AEF中,cos45°=AF(AE)=2(2),即t(3-t)=2(2).解得t=2(3).综上所述,当t=1或t=2(3)时,△AEF是直角三角形;(3)存在.过点P作PN∥y轴,交直线AB于点N,交x轴于点D,过点B作BC⊥PN于 点C.设点P(x,-x2+2x+3),则点N(x,-x+3),∴PN=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,∴S△ABP=S△BPN+S△APN=2(1)PN•BC+2(1)PN•AD=2(1)(-x2+3x)•x+2(1)(-x2+3x)(3-x)=-2(3)(x-2(3))2+8(27),当x=2(3)时,△ABP的面积最大,最大面积为8(27),此时点P(2(3),4(15)).
 
  特殊四边形存在性问题
【经典导例】
【例5】如图所示,在平面直角坐标系中xOy中,矩形OABC的边长OA,OC分别为12 cm,6 cm,点A,C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,且18a+c=0.
 
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向终点C移动;
①移动开始后第t s时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P,B,Q,R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)由OA的长从而求出点A的坐标,代入表达式得c=-12,再与18a+c=0联立从而求出a的值,再利用对称轴为直线x=-2a(b)=3求得b的值,继而求得二次函数的表达式;(2)①由题意得AP=t1PB=6-t,QB=2t,所以S=2(1)PB•BQ=2(1)×(6-t)×2t=-t2+6t(0<t<6);②由S与t的函数关系式可得到S的最大值,当以P,B,Q,R为顶点的四边形为平行四边形时,要分三种情况加以讨论.
【学生解答】
解:(1)由题意知点A的坐标为(0,-12),∴c=-12,又∵18a+c=0,∴a=3(2),∵AB∥OC且AB=OC=6,∴抛物线的对称轴是直线x=3,∴x=-2a(b)=3,∴b=-4,∴抛物线的表达式为y=3(2)x2-4x-12;(2)①由题意得AP=t,PB=6-t,QB=2t,∴S=2(1)PB•BQ=2(1)×(6-t)×2t=-t2+6t,t的取值范围:0<t<6;②∵S=-t2+6t=-(t-3)2+9,∴当t=3时,S取最大值为9,这时点P的坐标为(3,-12),点Q的坐标为(6,-6),若以P,B,Q,R为顶点的四边形是平行四边形,有以下三种情况:(Ⅰ)当点R在BQ的左边,且在PB下方时,点R的坐标为(3,-18),将(3,-18)代入抛物线的表达式中,满足表达式,所以存在,点R的坐标就是(3,-18);(Ⅱ)当点R在BQ的左边,且在PB上方时,点R的坐标为(3,-6),将(3,-6)代入抛物线的表达式中,不满足表达式,所以点R不满足条件;(Ⅲ)当点R在BQ的右边,且在PB上方时,点R的坐标为(9,-6),将(9,-6)代入抛物线的表达式中,不满足表达式,所以点R不满足条件.综上所述,点R坐标为(3,-18).
 
 
6.(2016安顺中考)如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-2(5))三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使 以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
 
解:(1)抛物线的表达式为:y=2(1)x2-2x-2(5);(2)由题意知,点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P,则P点即为所求.设 直线BC的表达式为y=kx+b1,由题意,得,(5)解得,(5)∴直线BC的表达式为y=2(1)x-2(5).∵抛物线y=2(1)x2-2x-2(5)的对称轴是直线x=2,∴当x=2时,y=2(1)x-2(5)=-2(3),∴点P的坐标是(2,-2(3));(3)存在.(Ⅰ)当存在的点N1在x轴的下方时,如图所示.∵四边形ACN1M1是平行四边形,∴CN1∥x轴,∴点C与点N1关于对称轴直线x=2对称,∵C点的坐标为(0,-2(5)),∴点N1的坐标为(4,-2(5));(Ⅱ)当存在的点N2在x轴上方时,如图所示,作N2H⊥x轴于点H,∵四边形ACM2N2是平行四边形,∴AC=M2N2,∠N2M2H=∠CAO,∴Rt△CAO≌Rt△N2M2H,∴N2H=OC,∵点C的坐标为(0,-2(5)),∴N2H=2(5),即N点的纵坐标为2(5),∴2(1)x2-2x-2(5)=2(5),解得x1=2+,x2=2-,∴点N的坐标为N2(2-,2(5))或N3(2+,2(5)),综上所述,满足题目条件的点N共有三个,分别为N1(4,-2(5)),N2(2-,2(5)),N3(2+,2(5)).
 
7.(2016龙岩中考)已知抛物线y=-2(1)x2+bx+c 与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(-4,0), B(1,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若 △PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
 (3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
 
解:(1)把A(-4,0),B(1,0)分别代入y=-2(1)x2+bx+c,得+b+c=0,(1)解得c=2,(,)∴y=-2(1)x2-2(3)x+2;(2)由(1)知抛物线的表达式为y=-2(1)x2-2(3)x+2,令x=0,y=2∴C(0,2),∴OC=2.∵A(-4,0),B(1,0),∴OA=4,OB=1,AB=5,分两种情况:①当∠PCB=90°时,解法一:在Rt△AOC和Rt△COB中,AC2=AO2+OC2=42+22=20,BC2=OC2+OB2=22+12=5.又∵AB2=52=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ACB是直角三角形,∴∠ACB=90°,∴当点P1与点A重合时,即P1(-4,0)时,△P1CB是直角三角形;②当∠PBC=90°时,过点B作BP2∥AC交抛物线于点P2.∵A(-4,0),C(0,2)易得直线AC的表达式yAC=2(1)x+2.∵ BP2∥AC,设直线BP2的表达式为y=2(1)x+b,把B(1,0)代入得b=-2(1),∴yBP2=2(1)x-2(1),∴x+2,(3)解得y1=0(x1=1,)(舍去)或y2=-3,(x2=-5,)∴P2(-5,-3).综上所述,点P1(-4,0),P2(-5,-3);(3)存在点E,E1(-7,0),E2(-1,0),E3(2(41),0),E4(2(41),0).