八年级数学上7.5三角形的内角和定理课件教案练习题(北师大版)

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课件简介:
  • 课件名称: 八年级数学上7.5三角形的内角和定理课件教案练习题(北师大版)
  • 课件科目: 八年级数学课件
  • 制作软件: PPT/FLASH/其他
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  • 更新时间: 2017年11月24日
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课题:三角形内角和定理
 教学目标:
知识与技能目标:
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180o;
2.能用三角形内角和等于180o进行角度计算和简单推理,并初步学会利用辅助线解决问题,体会转化思想在解决问题中的应用.
过程与方法目标:
1.通过拼图实验、合作交流、推理论证的过程,体现“做中学”,发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力,初步获得科学研究的体验;
2.掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证题,同时培养学生观察、猜想和论证能力..
情感态度与价值观目标:
1.通过操作、交流、探究、表述、推理等活动,培养学生的合作精神,体会数学知识内在的联系与严谨性,鼓励学生大胆提出疑问,培养学生良好的学习习惯.
 重点:
三角形内角和定理的证明及其简单的应用;
难点:
在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线.
 教学流程:
一、 情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角,平时,它们三兄弟非常团结可是有一天,老二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说:“你凭什么度数最大,我也要和你一样大!”“不行啊!”老大说:“这是不可能的,否则,我们这个家就再也围不起了……”“为什么?” 老二很纳闷.
 同学们,你们知道其中的道理吗?
目的:通过对话激发学生的求知欲;让学生通过小组讨论:其中的道理.
二、 自主探究
探究1:
以前你用什么办法验证三角形内角和是180º
把三个角拼在一起试试看?
      
 
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
目的:让学生通过小组讨论:有什么办法得到这个结论。学生会提出度量、或拼图的方法,引导学生做小学做过的剪纸实验,并带领学生一起撕下三角形的任意两个角,拼在第三个角的顶点处。观察拼图结果,发现三个角拼在一起刚好是一个平角,总结出拼图方法,为下一环节说理证明作好准备,通过学生动手操作,把抽象知识形象化、具体化,把学生直接带入新课的学习,并让学生知道数学知识来源于实践,让他们感受到学习的乐趣,增加他们学习数学的信心.
已知:如图∠A,∠B,∠C是 △ABC的内角.
求证:∠A+∠B+∠C=1800.
 
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把
∠B移到了∠2的位置.
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线
PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动.
 
证明:过点A作PQ∥BC,则
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
例题讲解:
例1. 如图,在△ABC中, ∠B=38°, ∠C=62°,AD是△ABC的角平分线,
求∠ADB的度数
 
解在△ABC中,
∠B+∠C +∠BAC=180°(三角形内角和定理),
 ∵ ∠B=38°, ∠C=62°(已知),
∴ ∠BAC=180°-  38 °- 62°=80°(等式的性质)
∵AD平分∠BAC(已知),
∴ ∠BAD=∠CAD =1/2 ∠BAC =40°(角平分线的定义)在△ADB中,
∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理),
∵ ∠B=38°(已知), ∠BAD=40°(已证),
∴∠ADB=180 °-  38°- 40°=102°(等式的性质)
做一做:
1、在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°, 则∠ C=         .
2、在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,则∠A =          .
3、在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B,则∠C =          .
解:1、1020     2、400     3、1200
4、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B的平分线相交于点E,求∠AEB的度数.
解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°∴∠A+∠B=90°,
∵∠A、∠B的平分线相交于点E,
∴∠EAB+∠EBA=  (∠A+∠B)=  ×90°=45°,
∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°,
∴∠AEB=180°﹣(∠EAB+∠EBA)=180°﹣45°=135°
三、合作探究
探究2:
观察与思考:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
 
想一想:外角与相邻内角有什么特殊关系?
∠4+∠3=180°
想一想
1、每一个三角形有几个外角?
2、每一个顶点处相对应的外角有几个?
3、这些外角中有几个外角相等?
解:1、一个三角形共有6个外角.
2、三角形每个顶点处各有两个外角(互为对顶角).
3、这些外角中有3对外角相等
证明:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
已知:如图,∠1是△ABC的一个外角.
求证: ∠1= ∠2+ ∠3
 
证明:∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°(三角形内角和定理)            
∴∠2+ ∠3= 180°-∠4
又∵ ∠1+ ∠4= 180°
∴∠1 = 180°-∠4
∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换)
证明:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
已知:如图,∠1是△ABC的一个外角.
求证: ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
 
证明:∵ ∠1 =∠2+ ∠3
         (三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和)            
     ∴ ∠1> ∠2,     ∠1> ∠3
像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.
三角形内角和定理的推论
推论可以当作定理使用.
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
做一做:
1.已知:如图,在△ABC中,外角∠DCA=100°, ∠A=45°。
求:∠B和∠ACB的大小.
 
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
∴ ∠B= ∠DCA-∠A=100°-45°=55°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵ ∠DCA+∠BCA=180°
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
例题讲解:
例2:已知:如右图,在△ABC中, ∠B= ∠C , AD平分外角∠EAC.     
求证:AD∥BC.
 
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”, “内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明:由证法1可得:∠DAC=∠C (已证)
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理)
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换)
∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
例3:已知:如图, P是△ABC内一点,连接PB,PC.
求证:∠BPC>∠ A
 

证明:如图,延长BP,交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义),
∴ ∠BPC>∠ PDC (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义),
∴ ∠PDC>∠ A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BPC>∠ A.
四、小结
通过本节课的内容,你有哪些收获?
1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800
2、推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
五、达标测评
1.△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C的度数是(  )
A.40° B.50° C.60° D.70°
解:C
2.如图所示,AD、BC相交于O点,若∠A=35°,∠B=56°,∠D=46°,则∠C的度数是(  )
A.31° B.45° C.41° D.55°
 
解:B
3.如图,若△ABC的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E,则图中与∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有( )个.
A.1       B.2       C.3       D.4
 
解:B
4.三角形中,最大角等于最小角的2倍,最大角又比另一个角大20°,则此三角形的最小角等于(        ).
解:40°
5.如图,△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,CD是∠ACB的平分线,DE⊥BC,
EF∥CD交AB于F,
求∠DEF的度数
 
解:∵△ABC中,∠A=70°,∠B=60°,
∴∠ACB=50°,
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠DCB=25°,
∵EF∥CD,
∴∠FEB=25°,
∵DE⊥BC,
∴∠DEF的度数为:90°﹣25°=65°.
六、拓展延伸
1.如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,若∠EBC=32°,∠AEB=70°.
若点F为线段BC上的任意一点,当△EFC为直角三角形时,
求∠BEF的度数.
        
解:分两种情况:
①当∠EFC=90°时,如图1所示:
则∠BFE=90°,
∴∠BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58°;
②当∠FEC=90°时,如图2所示:
则∠EFC=90°﹣38°=52°,
∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20°;
综上所述:∠BEF的度数为58°或20°.
七、布置作业
教材183题第1,2题.